天天滚动:向量的数量积公式是怎么推导的_向量积公式为为什么有sin

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天天滚动:向量的数量积公式是怎么推导的_向量积公式为为什么有sin

来源：互联网时间：2023-02-16 09:48:33

1、三维向量外积（即矢积、叉积）可以用几何方法证明；也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。

2、下面把向量外积定义为：a×b=|a|·|b|·Sin.分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。

【资料图】

3、有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

4、下面给出代数方法。

5、我们假定已经知道了：1）外积的反对称性：a×b=-b×a.这由外积的定义是显然的。

6、2）内积（即数积、点积）的分配律：a·(b+c)=a·b+a·c,(a+b)·c=a·c+b·c.这由内积的定义a·b=|a|·|b|·Cos，用投影的方法不难得到证明。

7、3）混合积的性质：定义(a×b)·c为矢量a,b,c的混合积，容易证明：i)(a×b)·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a,b,c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。

8、从而就推出：ii)(a×b)·c=a·(b×c)所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c).由i)还可以推出：iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)我们还有下面的一条显然的结论：iv)若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零矢量。

9、下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律。

10、设r为空间任意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有r·(a×(b+c))=(r×a)·(b+c)=(r×a)·b+(r×a)·c=r·(a×b)+r·(a×c)=r·(a×b+a×c)移项，再利用数积分配律，得r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0这说明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于任意一个矢量。

11、按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即a×(b+c)-(a×b+a×c)=0所以有a×(b+c)=a×b+a×c.证毕。

12、参考资料：《空间解析几何引论》（第二版），南开大学《空间解析几何引论》编写组。

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